Question

50
5 и 6
_._._._._._._._._​

Answer 1

Ответ:

5) $\boxed{S = \dfrac{2\sqrt{a^{3}} - 1}{3}}$ квадратных единиц

6) $\boxed{S = 2 - \dfrac{1}{\ln 2}}$ квадратных единиц

Объяснение:

5)

По условию фигура ограничена линиями:

$y = \dfrac{1}{a} \cdot x^{2}$

$y = a\sqrt{x}$

Найдем пределы интегрирования:

$\dfrac{1}{a} \cdot x^{2} = a\sqrt{x}|\cdot a;$ ОДЗ: a ≠ 0; $x \geq 0$

$(x^{2})^{2} = (a^{2}\sqrt{x})^{2}$

$x^{4} = a^{4}x$

$x^{4} - a^{4}x = 0$

$x(x^{3} - a) = 0$

$x_{1} = 0;x_{2} = \sqrt[3]{a}$

$a = 0$

$b = \sqrt[3]{a}$

Так как график $y = a\sqrt{x}$  "расположен выше" графика $y = \dfrac{1}{a} \cdot x^{2}$ , а пределы интегрирования от $0$ до $\sqrt[3]{a}$ то:

$S = \displaystyle \int\limits^{\sqrt[3]{a} }_{0} {\left (a\sqrt{x} - \dfrac{1}{a} \cdot x^{2} \right )} \, dx = \left(\dfrac{2ax\sqrt{x} }{3} - \dfrac{x^{3}}{3a} \right) \bigg| _{0}^{\sqrt[3]{a} } = \left(\dfrac{2ax\sqrt{x} }{3} \right) \bigg| _{0}^{\sqrt[3]{a} } - \left (\dfrac{x^{3}}{3a} \right) \bigg| _{0}^{\sqrt[3]{a} }=$$= \dfrac{2a}{3} \left (\sqrt[3]{a} \sqrt{\sqrt[3]{a}} - 0\sqrt{0} \right) - \left ( \dfrac{1}{3a} \left ( (\sqrt[3]{a} )^{3} - 0^{3} \right) \right) = \dfrac{2a}{3} \cdot a^{\frac{1}{3} } \cdot a^{\frac{1}{3}^{\frac{1}{2} }} - \dfrac{a}{3a} =$

$= \dfrac{2a}{3} \cdot a^{\frac{1}{3} } \cdot a^{\frac{1}{6}} - \dfrac{1}{3} =\dfrac{2\cdot a^{(\frac{1}{3} +\frac{1}{6} +1)}}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2a^{\dfrac{3}{2} } - 1}{3} = \dfrac{2\sqrt{a^{3}} - 1}{3}$ квадратных единиц.

6)

По условию фигура ограничена линиями:

$y = 2^{x}$

$y = 2$

$x = 0$

Найдем пределы интегрирования:

$2^{x} = 2$

$2^{x} = 2^{1} \Longleftrightarrow x = 1$

$a = 0$

$b = 1$

Так как график $y = 2$ "расположен выше" графика $y = 2^{x}$ , а пределы интегрирования от 0 до 1 то:

$S = \displaystyle \int\limits^{1 }_{0} {\left (2 - 2^{x} \right )} \, dx = \left (2x - \dfrac{2^{x}}{\ln 2} \right) \bigg| _{0}^{1} = \left (2x \right) \bigg| _{0}^{1} - \left (\dfrac{2^{x}}{\ln 2} \right) \bigg| _{0}^{1} =$

$= 2 (1 - 0) - \dfrac{1}{\ln 2} (2^{1} - 2^{0}) = 2\cdot 1 - \dfrac{1}{\ln 2} \cdot 1 = 2 - \dfrac{1}{\ln 2}$ квадратных единиц.