Question

Помогите, пожалуйста, найти предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности

Answer 1

Будем пользоваться непрерывностью косинуса, тем самым обосновывая справедливость внесения знака предела под аргумент.

$n^{5/6}\pi\dfrac{\sqrt[3]{n^2-1}-\sqrt[3]{n^2} }{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = n^{5/6}\pi\dfrac{\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{2/3}\right)\left((n+1)^{1/2}+n^{1/2}\right)}{1}$, это получилось умножением числителя и знаменателя на сопряженное. Раскрываем скобки: $n^{5/6}\pi\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{5/6}-n^{2/3}(n+1)^{1/2}+n^{1/2}(n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{7/6}\right)$. Вынесем $n^{7/6}$: $n^{2}\pi\left(\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{5/6}-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/2}+\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right)$. Разложим каждую скобку по формуле Тейлора в окрестности $0$ с точностью до квадратичных членов: $n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right)\left(1+\dfrac{5}{6n}-\dfrac{5}{72n^2}+o(1/n^2)\right)-\\-n^2\pi\left(1+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(1/n^2)\right)+\\+n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) \left(1+\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) - n^2\pi$

После раскрытия скобок получим $-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1) \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\left [-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1)\right] = -\dfrac{2\pi}{3}$. Значит, $\lim\limits_{n\to\infty }x_{n} = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$.