Question

Діагоналі чотирикутника АВCD, вписаного в коло, перетинаються у точці М, а прямі АВ i CD перетинаються у точці N. Bідомо, що АMD=108°, AND=24°. Знайдіть кути АBD i BDC.

Пожалуйста срочно ​

Answer 1

Ответ:

66° и 42°

Объяснение:

Дано: Окр.О;

АВСD - вписанный четырехугольник;

АС ∩ BD = M; AB ∩ BC = N;

∠АMD = 108°; ∠AND = 24°.

Найти: ∠АBD и ∠BDC.

Решение:

1.

• Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

⇒

$\displaystyle \angle{AMD}= \frac{1}{2} (\smile {BC}+\smile{AD})\\\\108^0=\frac{1}{2} (\smile {BC}+\smile{AD})\\\\\smile {BC}+\smile{AD}=216^0$(1)

• Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

⇒

$\displaystyle \angle{AND}=\frac{1}{2}(\smile {AD}-\smile {BC})\\\\24^0= \frac{1}{2}(\smile {AD}-\smile {BC})\\\\48^0=\smile {AD}-\smile {BC}$(2)

Из (2) выразим дугу  AD и подставим в (1):

$\displaystyle \smile {AD}=48^0+\smile {BC}\\\\216^0=48^0+\smile {BC}+\smile {BC}\\\\2\smile {BC}=216^0-48^0\\\\\smile {BC}=84^0\\\\\smile {AD}=48^0+84^0=132^0$

2. Теперь можем найти искомые углы.

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

⇒

$\displaystyle \angle {ABD}=\frac{1}{2}\smile {AD}=\frac{1}{2}*132=66^0\\\\\angle {BDC}=\frac{1}{2}\smile {BC}=\frac{1}{2}*84^0=42^0$