Question

решите неравество: 4*9^(1-5/x) - 91*12^(-5/x) + 3*4^(2-10/x)>=0

Answer 1

Ответ:

[-5; 0) ∪(0; 2,5]

Пошаговое объяснение:

$4\cdot9^{1-\frac{5}{x} } -91\cdot 12^{-\frac{5}{x} } +3\cdot4^{2-\frac{10}{x} } \geq 0;\\\\4\cdot 9\cdot3 ^{-\frac{10}{x} } -91\cdot 3 ^{-\frac{5}{x} }\cdot 4^{-\frac{5}{x} } } +3\cdot 4^{2} \cdot 4^{-\frac{10}{x} } \geq 0| ;\\\\36\cdot3 ^{-\frac{10}{x} } -91\cdot 3 ^{-\frac{5}{x} }\cdot 4^{-\frac{5}{x} } } +48 \cdot 4^{-\frac{10}{x} } \geq 0 |: 4^{-\frac{10}{x} };\\\\36\cdot \left(\dfrac{3}{4} \right)^{ {-\dfrac{10}{x} }} -91\cdot \left(\dfrac{3}{4} \right)^{ {-\dfrac{5}{x} }} +48\geq 0;$

Пусть $\left(\dfrac{3}{4} \right)^{ {-\dfrac{5}{x} }} =t,t>0$  . Тогда неравенство принимает вид:

$36t^{2} -91t+48\geq 0$.

Решим данное неравенство

$36t^{2} -91t+48=0;\\D= (-91) ^{2} -4\cdot36\cdot48= 8281- 6912=1369=37^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{91-37}{2\cdot36} = \dfrac{54}{72} =\dfrac{3}{4} ;\\\\t{_2}= \dfrac{91+37}{2\cdot36} = \dfrac{128}{72} =\dfrac{16}{9} .$

Тогда

$\left [\begin{array}{l} t\leq \dfrac{3}{4}, \\ \\t\geq \dfrac{16}{9} . \end{array} \right.$

$1) \left(\dfrac{3}{4} \right)^{ {-\dfrac{5}{x} }} \leq \dfrac{3}{4}; \\\\-\dfrac{5}{x} \geq 1;\\\\-\dfrac{5}{x}-1 \geq 0;\\\\\dfrac{-5-x}{x} \geq 0|\cdot (-1);\\\\\dfrac{x+5}{x} \leq 0;\\\\-5\leq x<0.$

$2) \left(\dfrac{3}{4} \right)^{ {-\dfrac{5}{x} }}\geq \dfrac{16}{9}; \\\\\left(\dfrac{3}{4} \right)^{ {-\dfrac{5}{x} }}\geq \left( \dfrac{3}{4}\right)^{-2} ;\\\\-\dfrac{5}{x} \leq -2;\\\\-\dfrac{5}{x}+2\leq 0;\\\\\dfrac{-5+2x}{x} \leq 0;\\\\\dfrac{2x-5}{x} \leq 0;\\\\0<x\leq 2,5.$

Значит, х ∈ [-5; 0) ∪(0; 2,5]