Question

При каких "a" уравнение имеет решение?
$\frac{1}{ \sin(x) } + \frac{1}{ \cos(x) } = \frac{1}{a}$
​

Answer 1

Рассмотрим интервал $(-\pi/2,0)$. На нем функция $f(x) = \dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x}$ непрерывна. Более того, при $x\to -\pi/2$ функция $f(x)\to +\infty$, а при $x\to -0$ функция $f(x)\to -\infty$. Тогда можно выбрать такие точки $a$ и $b$ из соответственно правой и левой полуокрестностей $-\pi/2$ и $0$, что для заданного наперед $M>0$ будет верно, что $f(a)>M \wedge f(b)<-M$. А тогда можно применить теорему Больцано-Коши (о промежуточном значении) для отрезка $[a,b]\subset (-\pi/2,0)$ и получить, что $\forall C: -M \leq C\leq M \to \exists c\in(a,b): f(c) = C$. Тогда область значений $f(x)|_{(-\pi/2,0)}$ есть $(-\infty,\infty)$, то есть уравнение имеет решение при всех $a\neq 0$.