Question

19. Диск без проковзування котиться по горизонтальній поверхні. Швидкість центра диска о. Установіть відпо дність між модулями лінійних швидкостей точок на ободі диска відносно землі та відповідними точками рисунку. помогите с подробным решением файл с вопросами прикрепил​

Answer 1

Диск является твердым телом. Поэтому (по формуле Эйлера) скорость $v_{1}$ верхней точки$\vec{v}_{1} = \vec{v}_{0}+\vec{\omega}\times\vec{r} = 0+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}0\\2d\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-2v\\0\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{1} = 2v$(здесь мы использовали, что нижняя точка -- является мгновенной осью вращения при движении без проскальзывания).

Скорость $v_{2}$ точки Г: $\vec{v}_{2} = \vec{v}_{C} + \vec{\omega}\times \vec{r} = \vec{v}+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}v+v/\sqrt{2}\\v/\sqrt{2}\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{2} = \sqrt{2+\sqrt{2}}v$

Скорость $v_{3}$ точки Б: $\vec{v}_{3} = \vec{v}_{C}+\vec{\omega}\times\vec{r} = \vec{v}+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}r\\0\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}v\\-v\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{3} = \sqrt{2}v$.

Скорость $v_{4}$ точки Д: $\vec{v}_{4} = \vec{v}_{C}+\vec{\omega}\times\vec{r} = \vec{v}+\left(\begin{array}{ccc}0\\0\\-\dfrac{v}{r}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\-\dfrac{r}{\sqrt{2}}\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}v-v/\sqrt{2}\\-v/\sqrt{2}\\0\end{array}\right)\Rightarrow v_{3} = \sqrt{2-\sqrt{2}}v$