Question

Заданы три точки: А (6;-4) В (8;4) С (-1;6) Найти: а) общее уравнение прямой АВ и ее угловой коэффициент; б) общие уравнения прямых, проходящих через точку С параллельно и перпендикулярно прямой АВ; в) точки пересечения прямых. Сделать чертеж.

Answer 1

y=kx+b - уравнение прямой  с угловым коэффициентом

Подставим в него координаты точек А и В

А (6;-4)

x=6;  y=-4

-4=k·6+b

В (8;4)

x=8;  y=4

4=k·8+b

Решаем систему двух уравнений и находим k  и  b:

$\left \{ {{-4=6k+b} \atop {4=8k+b}} \right.$

$\left \{ {{-6k-4=b} \atop {4=8k-6k-4}} \right.\\\\\left \{ {{-6k-4=b} \atop {4k=8}} \right.$

$\left \{ {{-6\cdot 2-4=b} \atop {k=2}} \right.\\\\\left \{ {{b=-16} \atop {k=2}} \right.$

y=2x-16 - уравнение прямой  AB с угловым коэффициентом  k=2

2x-y-16=0  - общее уравнение прямой АВ

б)

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты

y=2x+b  - уравнение прямых, параллельных АВ

Чтобы найти прямую, проходящую через точку С подставим координаты точки С

С (-1;6)

6=2·(-1)+b

b=8

y=2x+8  - уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С.

2x-y+8=0 общее уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С.

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

k₁·k₂=-1

k₁=2

k₂=$-\frac{1}{2}$-  угловой коэффициент прямой, перпендикулярной АВ

$y=-\frac{1}{2}x+b$  - уравнение прямых, перпендикулярных АВ

Подставляем координаты точки С:

$6=(-\frac{1}{2}) \cdot (-1)+b$

$b=\frac{13}{2}$

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$ -уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С

x+2y-13=0- общее уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С

в)

Прямая, параллельная АВ и проходящей через точку С. пересекается с прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С  в точке С.

Значит требуется найти точку пересечения прямой АВ и прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С

Решаем систему уравнений:

$\left \{ {{y=2x-16} \atop {y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}}} \right.$

Приравниваем правые части уравнений:

$2x-16=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$

х=9

y=2·9-16

y=2

О т в е т. (9;2)