Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПРЕДЕЛ

Answer 1

Ответ:

Второй замечательный предел:    $\lim\limits_{\alpha (x) \to \infty}\Big(1+\dfrac{1}{\alpha (x)}\Big)^{\alpha (x)}=\Big[\ 1^{\infty }\ \Big]=e$   .

$\lim\limits_{x \to \infty}\Big(\dfrac{2x}{2x-1}\Big)^{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\Big(\dfrac{2x-1+1}{2x-1}\Big)^{x}=\lim\limits_{x \to \infty}\Big(1+\dfrac{1}{2x-1}\Big)^{\frac{2x-1}{1}\cdot \frac{x}{2x-1}}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to \infty}\Big(\Big(1+\dfrac{1}{2x-1}\Big)^{\frac{2x-1}{1}}\Big)^{\frac{x}{2x-1}}=e^{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x}{2x-1}}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$

Answer 2

Ответ:

(см. Объяснение)

Объяснение:

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x}{2x-1}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}e^{x\ln\left(\frac{2x}{2x-1}\right)}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\ln\left(\frac{2x}{2x-1}\right)\right)}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\ln\left(\frac{2x}{2x-1}\right)\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\ln\left(1+\dfrac{1}{2x-1}\right)\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x}{2x-1}\right)=\dfrac{1}{2}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x}{2x-1}\right)^x=\sqrt{e}$

Задание выполнено!