Question

y"-4y'+4y=-e^2x*sin5x

Answer 1

Ответ:

y= A e^(2x ) +B x e^(2x)-(1/25)• e^(2x) sin(5x)

Пошаговое объяснение:

Решение однородного:

у"= -4 у' +4у=0

Ищем решение в виде е^(кх) ,

Получаем:

к^2-4К+4=(к-2) ^2=0

к_(1;2)= 2

Фундаментальная система решений состоит из

е^(2х) и х е^ ( 2х)

Решение будет в форме из суперпозиции:

у=А е^(2х+В х е^( 2х)

А, В постоянные

Частное решение в виде неоднородного будем искать в правой части:

у= С е^(2х) sin( 5x) +D e^(2x) cos(5x)

y'= 2y+ 5 C e^(2x) cos(5x) -5 D e^(2x ) sin (5x)

y"= 4y+20 D e^(2x) cos( 5x) --20 D e^(2x ) sin(5x)-25y

-21y-8y+4y+20 D e^(2x) cos(5x)-20 D e^(2x) cos(5x)

=-25y =-25 ( C e^ (2x) sin(5x) + D e^(2x) cos(5x)= e^(2x) sin(5x)

Отсюда из линейной зависимости sin cos следует:

D=0

C= -1/25

Общее решение неоднородного есть сумма частного решения неоднородного и общего решения однородного:

у= А е^ ( 2х) + В х е^( 2х) - (1/25) •е^ (2х) sin(5x)