Question

Помогите решить неравенство, пожалуйста.

Answer 1

$\frac{10^{x} }{2*(\log_2 (x+1)^{2})^2 * log_3 (x+2)} \leq \frac{(15*3^x)^x}{9*(\log_2 (x+1)^{2})^2 * log_3 (x+2)}$

Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю

$\frac{2*(15*3^x)^x - 3^2*10^x}{18*(\log_2 (x+1)^{2})^2 * log_3 (x+2)} \geq 0$

Отдельно рассмотрим числитель

$2*(3*5*3^x)^x - 3^2*2^x*5^x = 2*(5*3^{x+1})^x - 3^2*x^x*5^x = 2*3^{x^2+x} *5^x - 2^x*3^2*5^x = 5^x*(2*3^{x^2 + x} - 3^2 * 2^x), 5^x > 0,$для любого x, тогда получим:

$2*3^{x^2+x} - 9*2^x$

Выясним на каких промежутках данная функция больше 0, на каких меньше:

$2*3^{x^2+x} - 9*2^x = 0\\2*3^{x^2+x} = 9*2^x$

Возьмем логарифмы от левой и правой частей уравнения по основанию 3 и перенесем все в одну сторону:

$log_3 (2*3^{x^2+x}) - log_3 (9*2^x) = 0\\log_3 (\frac{2*3^{x^2+x}}{9*2^x} ) = 0\\log_3 (\frac{3^{x^2 + x - 2}}{2^{x-1}} ) = 0\\log_3 (3^{x^2 + x - 2}) - log_3 (2^{x-1}) = 0\\x^2 + x - 2 - (x-1)*log_3 2 = 0$

Подставим x = 1, 1 + 1 - 2 - 0 = 2-2=0 ⇒ x = 1 - корень уравнения

$x^2 + (1 - log_3 2)*x + (log_3 2 - 2) = 0$

По теореме Виета:

$-1 + log_3 2 = x_2 + 1\\x_2 = log_3 2 - 2$

$+++++++ (log_3 2 - 2) --------- (1) ++++++++->_x$

Теперь рассмотрим

$\frac{1}{(\log_2 (x+1)^{2})^2 * log_3 (x+2)} \\\frac{1}{(8*\log_2 (x+1))^2 * log_3 (x+2)} \\\frac{1}{(\log_2 (x+1))^2 * log_3 (x+2)}$

Ограничения:

$\left \{ {{log_2 (x+1) * log_3 (x+2) \neq 0} \atop {\left \{ {{x+1>0} \atop {x+2 > 0}} \right. }} \right. \\\left \{ {{x \neq 0} \atop {\left \{ {{x > -1} \atop {x > -2}} \right. }} \right. \\\\\left \{ {{x \neq 0} \atop {x > -1}} \right.$

Рационализируем

$\frac{1}{(2-1)*(x+1-1)^2 * (3-1)*(x+2-1)} \geq 0\\\frac{1}{x^2(x+1)} \geq 0$

Метод интервалов:

$--------- (-1)++++++++++ (0) ++++++++++++++->_x$

Для того, чтобы дробь была положительной должно выполняться условие: либо и числитель, и знаменатель положительные, либо они оба отрицательные

получим:

Система 1:

$\left \{ {(-inf, (log_3 2 - 2] U [1, inf)} \atop {(-1, 0) U (0, inf)}} \right. \\=> [1, inf)$

Система 2:

$\left \{ {{[log_3 - 2, 1]} \atop {(-inf, -1)}} \right.\\=> [log_3 2 - 2, -1)$

Объединим две системы:

Ответ: $[log_3 2 - 2; -1) U [1, inf)$