Question

2 курс - найти радиус сходимости ряда. С помощью Даламбера и Коши не получается

Answer 1

Ответ: 180/81 или 2,(2)

Пошаговое объяснение:

По теореме Коши-Адамара:

$R=\dfrac{1}{ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} }$

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\Big(\dfrac{8-9n}{5-6n} \Big)^{2n+1}\cdot \dfrac{x^n}{5^n} \\ \\ \\ \\ a_n=\Big(\dfrac{8-9n}{5-6n} \Big)^{2n+1}\cdot \dfrac{1}{5^n} \\ \\ \\ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\Big|\Big(\dfrac{8-9n}{5-6n} \Big)^{2n+1}\cdot \dfrac{1}{5^n}\Big|} =\lim\limits_{n \to \infty} \Big|\Big(\dfrac{8-9n}{5-6n} \Big)^{2+\frac{1}{n} }\Big|\cdot \dfrac{1}{5}=\\\\=\Big(\Big|\dfrac{-9}{-6}\Big|\Big)^2\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{81}{180}$

$R=\dfrac{1}{ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} }=\dfrac{1}{\dfrac{81}{180} } =\dfrac{180}{81}=2,(2)$