Question

найти наименьшее значение выражения 2sin x - 7 cos​ x

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Ответ:

$2sinx-7cosx=\sqrt{2^2+7^2}\cdot \Big(\dfrac{1}{\sqrt{2^2+7^2}}\cdot 2sinx-\dfrac{1}{\sqrt{2^2+7^2}}\cdot 7cosx\Big)=\\\\\\=\sqrt{53}\cdot \Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\cdot sinx-\dfrac{7}{\sqrt{53}}\cdot cosx\Big)\ ;$

Так как  $\Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\Big)^2+\Big(\dfrac{7}{\sqrt{53}}\Big)^2=\dfrac{4}{53}+\dfrac{49}{53}=\dfrac{53}{53}=1$   и  $sin^2\alpha +cos^2\alpha =1$  , то

можно положить  $\dfrac{2}{\sqrt{53}}=cos\alpha \ ,\ \ \dfrac{7}{\sqrt{53}}=sin\alpha$  .  Ввели вспомогательный угол  альфа .

Тогда по формулам тригонометрии имеем:

$\sqrt{53}\cdot \Big(\dfrac{2}{\sqrt{53}}\cdot sinx-\dfrac{7}{\sqrt{53}}\cdot cosx\Big)=\sqrt{53}\cdot \Big(cos\alpha \cdot sinx-sin\alpha \cdot cosx\Big)=\\\\=\sqrt{53}\cdot sin(x-\alpha )$

Синус любого угла принимает значения от  -1  до  1 , то есть

$-1\leq sin(x-\alpha )\leq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ -\sqrt{53}\, \leq \sqrt{53}\, sin(x-\alpha )\, \leq \sqrt{53}\\\\-\sqrt{53}\, \leq 2sinx-7cosx\, \leq \sqrt{53}$

Наименьшее значение заданного выражения равно   $-\sqrt{53}$   .