Question

помогите решить, буду благодарна!

Answer 1

Нельзя 4 таких сложных задачи давать в одном вопросе!

Надо было разбить хотя бы на два вопроса.

3.1. Три раза по частям, понижаем степень x^3.

$\int {x^3sin(2x)} \, dx =|u=x^3; dv=sin(2x)dx; du=3x^2dx; v=-\frac{1}{2} cos(2x)|=$

$=-\frac{x^3}{2}cos(2x)+\frac{3}{2}\int {x^2cos(2x)} \, dx =$

$=|u=x^2; dv=cos(2x)dx; du=2x; v=\frac{1}{2} sin(2x)|=$

$=-\frac{x^3}{2}cos(2x)+\frac{3x^2}{4} sin(2x)-\frac{3}{2}\int {xsin(2x)} \, dx =$

$=|u=x; dv=sin(2x)dx; du=dx; v=-\frac{1}{2} cos(2x)|=$

$=-\frac{x^3}{2} cos(2x)+\frac{3x^2}{4} sin(2x) +\frac{3x}{4}cos(2x)-\frac{3}{4}\int {cos(2x)} \, dx=$

$=-\frac{x^3}{2} cos(2x)+\frac{3x^2}{4} sin(2x) +\frac{3x}{4}cos(2x)-\frac{3}{8}sin(2x)+C$

3.2. Два раза по частям, понижаем степень x^2.

$\int {x^22^x} \, dx =|u=x^2;dv=2^xdx; du=2xdx; v=\frac{1}{ln2} 2^x|=$

$=\frac{x^2}{ln2}2^x-\frac{2}{ln2} \int {x2^x} \, dx =|u=x; dv=2^xdx;du=dx;v=\frac{1}{ln2}2^x |=$

$=\frac{x^2}{ln2}2^x -\frac{2x}{(ln2)^2}2^x+\frac{2}{(ln2)^2} \int {2^x} \, dx =\frac{x^2}{ln2}2^x -\frac{2x}{(ln2)^2}2^x+\frac{2}{(ln2)^3}2^x+C$

4.1.  $z=\frac{1}{x^3y^4cos(x)}$

Производные 1 порядка.

$\frac{dz}{dx} =\frac{1}{y^4}*\frac{-(3x^2cos(x)+x^3(-sin(x)))}{x^6cos^2(x)}=\frac{xsin(x)-3cos(x)}{y^4x^4cos^2(x)}$

$\frac{dz}{dy} =\frac{1}{x^3cos(x)}*(-\frac{4y^3}{y^8} )=-\frac{4}{y^5x^3cos(x)}$

Производные 2 порядка.

$\frac{d^2z}{dx^2}=\frac{(sin(x)+xcos(x)+3sin(x))x^4cos^2(x)-(xsin(x)-3cos(x))(4x^3cos^2(x)-2x^4sin(x)cos(x))}{y^4x^8cos^4(x)}=$

$=\frac{(4sin(x)+xcos(x))xcos(x)-(xsin(x)-3cos(x))(4cos(x)-2xsin(x))}{y^4x^5cos^3(x)}$

$\frac{d^2z}{dxdy} =-\frac{4}{y^5}*(-\frac{3x^2cos(x)+x^3(-sin(x))}{x^6cos^2(x)} ) =\frac{4(3cos(x)-xsin(x))}{y^5x^4cos^2(x)}$

$\frac{d^2z}{dy^2} =-\frac{4}{x^3cos(x)}*(-\frac{5y^4}{y^{10}} )=\frac{20}{y^6x^3cos(x)}$

4.2. $z=x^y$

Производные 1 порядка.

$\frac{dz}{dx} =yx^{y-1}$

$\frac{dz}{dy} =x^yln(x)$

Производные 2 порядка.

$\frac{d^2z}{dx^2} =y(y-1)x^{y-2}$

$\frac{d^2z}{dxdy} =x^{y-1}+yx^{y-1}ln(x)=x^{y-1}(1+yln(x))$

$\frac{d^2z}{dy^2} =ln(x)x^yln(x)=ln^2(x)x^y$