Question

Теплоход отправился в десятидневный круиз по реке. в первый день он прошёл 200 км, а в каждый из остальных дней проходил на одинако- вое число километров меньше, чем в предыдущий. сколько километров прошёл теплоход за эти десять дней, если в последние три дня он прошёл 240 км?​

Answer 1

Числа, обозначающие количество километров, пройденное за каждый день, образуют арифметическую прогрессию, потому что они постоянно уменьшаются на одно и то же число.

Тогда а₁ = 200 — первый член прогрессии,

a₈ + a₉ + a₁₀ = 240.

Формула n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

$a_n = a_1 + d (n - 1)$, где d — разность прогрессии.

Преобразуем последние три члена с помощью этой формулы и получим уравнение:

(а₁ + d(8-1)) + (а₁ + d(9-1)) + (а₁ + d(10-1)) = 240;

(а₁ + 7d) + (а₁ + 8d) + (а₁ + 9d) = 240;

а₁ + 7d + а₁ + 8d + а₁ + 9d = 240;

Сведем подобные слагаемые в левой части:

3а₁ + 24d = 240;

Подставим а₁:

3 ∙ 200 + 24d = 240;

600 + 24d = 240;

24d = 240 - 600;

24d = -360;

d = -360 : 24;

d = - 15.

Нам уже известно, сколько теплоход прошел в последние три дня.

Теперь нужно найти, сколько километров он прошел в первые семь дней.

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Подставляем имеющиеся данные в формулу:

$S_7 = \frac{2\cdot 200+(-15)\cdot (7-1)}{2}\cdot 7= \frac{400-90}{2}\cdot 7=\frac{310}{2}\cdot 7 = 155\cdot 7 = 1\ 085$

Теперь сложим количество километров, пройденное за первые 7 дней, с количеством, пройденным за последние 3 дня:

1 085 + 240 = 1 325 (км) — прошел теплоход за весь круиз.

Ответ: 1 325 км.