Question

Помогите решить, найти y' и y''.

Answer 1

Ответ:

Производная первого порядка :

$\displaystyle y'_x=\frac{9t^2}{2cost-(2t+3)sint}$

Производная второго порядка :

$\displaystyle y''_x=\frac{36t\;cost-54t\;sint-18t^3cost-27t^2cost}{(2cost-(2t+3)\;sint)^3}$

Пошаговое объяснение:

Надо найти производные первого и второго порядка от функции, заданной параметрически.

$\displaystyle \left \{ {{x=(2t+3)cost} \atop {y=3t^3}} \right.$

Найдем производную первого порядка по формуле:

$\displaystyle \boxed {y'_x=\frac{y'_t}{x'_t} }$

1.  Найдем производную первого порядка  $\displaystyle y'_x$.

Производную произведения найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed { (uv)'=u'v+uv'}$

Также воспользуемся формулами:

$\displaystyle \boxed {c'=0}\;\;\;\;\; \boxed{(x^n)'=nx^{n-1}}\;\;\;\;\; \boxed{(cosx)'=-sinx}$

$\displaystyle x'_t=(2t+3)'*cost+(2t+3)*(cost)'=2*cost+(2t+3)(-sint)=\\\\=2cost-(2t+3)sint$

$\displaystyle y'_t=3*3t^2=9t^2$

⇒

$\displaystyle y'_x=\frac{9t^2}{2cost-(2t+3)sint}$

2. Найдем производную второго порядка по формуле:

$\displaystyle \boxed {y''_x=(y'_x)'_x=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t} }$

Нам понадобится формула производной частного:

$\displaystyle \boxed {\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

Также

$\displaystyle \boxed { (sinx)'=cosx}$

Найдем производную $\displaystyle (y'_x)'_t$ :

$\displaystyle \frac{9*2t*(2cost-(2t+3)sint)-9t^2*(2(-sint)-(2*sint+(2t+3)*cost)}{(2cost-(2t+3)sint)^2} =\\\\=\frac{18t(2cost-(2t+3)sint)-9t^2(-2sint-2sint+2t\;cost+3cost)}{(2cost-(2t+3)sint)^2}=\\\\=\frac{36t\:cost-18t(2t\;sint\;+3sint)+18t^2\;sint+18t^2\;sint-18t^3cost-27t^2cost)}{(2cost-(2t+3)sint)^2} =\\\\\frac{36t\;cost-36t^2\;sint-54t\;sint+36t^2\;sint-18t^3cost-27t^2cost}{(2cost-(2t+3)sint)^2} \\\\\\=\frac{36t\;cost-54t\;sint-18t^3cost-27t^2cost}{(2cost-(2t+3)\;sint)^3}$

3. Найдем производную второго порядка $\displaystyle y''_x$ :

$\displaystyle$$\displaystyle \frac{36t\;cost-54t\;sint-18t^3cost-27t^2cost}{(2cost-(2t+3)\;sint)^2*(2cost-(2t+3)sint)} =\\\\=\frac{36t\;cost-54t\;sint-18t^3cost-27t^2cost}{(2cost-(2t+3)\;sint)^3}$