Question

12cos50°+6cos70° все это поделить на √3sin70° .
как решать?

Answer 1

Ответ: 6

Пошаговое объяснение:

Решение:  

$\cos(90-a) =\sin a \ \\\\ \cos50=\sin40$

$\displaystyle \frac{12\cos50 +6 \cos 70 }{\sqrt{3}\sin70 }} =\frac{12\sin40+6\cos70+6\sqrt{3} \sin 70-6\sqrt{3} \sin 70 }{\sqrt{3}\sin70}= \\\\\\ \frac{12\sin40 + ( 6 \cos 70 + 6\sqrt{3}\sin70)}{\sqrt{3}\sin70} -\frac{6\cdot \sqrt{3}\sin70}{\sqrt{3}\sin70} =\\\\ \frac{12\sqrt{3}\sin70 }{\sqrt{3}\sin70 } -6 =12-6 =\boxed{6}$

Упростим  выражение

$\displaystyle 6 \cos 70 + 6\sqrt{3}\sin70$

Вынесем 12 за скобки

$\displaystyle 6 \cos 70 + 6\sqrt{3}\sin70=12 \bigg(\frac{1}{2} \cos70 +\frac{\sqrt{3} }{2}\cdot \sin70 \bigg)$

Подставим

$\sin 30=\dfrac{1}{2} ~~ ;~~ \cos30=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

$\displaystyle 12 \bigg(\frac{1}{2} \cos70 +\frac{\sqrt{3} }{2}\cdot \sin70 \bigg)=12(\sin30\cdot \cos70 +\sin70\cdot \cos30 )$

$\boxed{\sin(x+y)=\sin x \cdot \cos y +\sin y \cdot \cos x}$

Тогда

$\displaystyle 12(\sin30\cdot \cos70 +\sin70\cdot \cos30 )=12(\sin(70+30))=12\sin100$

Дальше в числителе

$\displaystyle 12\sin40+12\sin 100 =12(\sin40 + \sin100)$

Воспользуемся формулой

$\boxed{\sin x+\sin y=2 \cdot \sin\tfrac{x+y}{2} \cdot \cos\tfrac{x-y}{2}}$

$12(\sin40 + \sin100)=12(2\cdot \sin\frac{100+40}{2}\cdot \cos\frac{100-40}{2} )=\\\\ 12(2\cdot \sin 70 \cdot \cos30)=12\bigg(2\cdot \sin 70\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} \bigg)=12\sqrt{3}\sin70$