Question

Площадь треугольника равна 1.Каждая его сторона отмеченными точками делится на равные части. Найдите площади закрашенных фигур на рисунке.

Answer 1

Ответ:

1) S = 1/6

2) S = 1/2

3) S = 5/9

Объяснение:

Площадь треугольника можно вычислить по следующей формуле:

$S = \frac{1}{2}a\cdot{b}\cdot\sin\gamma$

1) Обозначим площадь закрашенного ∆-ка S1 (см. рис.1)

Очевидно, т.к. точки делят стороны "единичного" ∆ка на равные отрезки, а угол $\gamma$ у единичного и у малого треугольника общий, то

$a_1 = \frac{a}{2};\: b_1=\frac{b}{3};$

$\gamma$ - общий

и площадь S1 равна

$S_1 = \frac{1}{2}a_1\cdot{b_1}\cdot\sin\gamma \\ S_1 = \frac{1}{2}\cdot \frac{ a}{2}\cdot \frac {b}{3}\cdot\sin\gamma = \frac{1}{12}a\cdot{b}\cdot\sin\gamma = \\ = \frac{1}{6} \cdot \bigg(\frac{1}{2}a\cdot{b}\cdot\sin\gamma \bigg) = \frac{1}{6} S$

А т.к. $S = 1 => \: S1 = \frac{1}{6}$

2) Пусть площадь закрашенной фигуры (а это - треугольник, см. рис.) равна S1.

Тогда площадь исходного единичного треугольника будет равна:

площадь S1, плюс общая площадь трех незакрашенных треугольников (обозначим их площади S2, S3, S4); а с учетом того, что площадь единичного треугольника равна 1:

$S =S_1+S_2+S_3 +S_4= 1 \: \: = > \\ = > S_1 =S - ( S_2{+}S_3{+}S_4)= 1- ( S_2{+}S_3{+}S_4)$

Треугольники 2, 3, 4 - образованы точно так же, как и треугольник в первой части задачи и соответственно их площади вычисляются точно так же:

$S_2 = S_3 = S_4 = \frac{1}{6} \cdot S = \frac{1}{6} \cdot1= \frac{1}{6} \: = > \\ = > S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

Соответственно, искомая площадь составляет

$S_1= 1- ( S_2+S_3+S_4) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3) Пусть площадь закрашенной фигуры (а это - шестиугольник, см. рис.) равна S1

Тогда площадь исходного единичного треугольника будет равна:

площадь S1, плюс общая площадь трех незакрашенных треугольников (пусть их площади будут S2, S3, S4); а с учетом того, что площадь единичного треугольника равна 1:

$S =S_1+S_2+S_3 +S_4= 1 \: \: = > \\ = > S_1 =S - ( S_2{+}S_3{+}S_4)= 1- ( S_2{+}S_3{+}S_4)$

Площади треугольников 2, 3 - образованы точно так же, как и треугольник в первой части задачи и соответственно их площади вычисляются точно так же:

$S_2 = S_3 = \frac{1}{6} \cdot S = \frac{1}{6} \cdot1= \frac{1}{6} \: = > \\ = > S_2 + S_3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

Но площадь треугольника 4 меньше: у него две стороны втрое меньше чем у исходного единичного, потому его площадь равна:

$S_4= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot S = \frac{1}{9} S = \frac{1}{9}\cdot1= \frac{1}{9}$

Следовательно, общая площадь незакрашенных частей равна:

$\\ S_2 + S_3+ S_4 = \frac{1}{6} +\frac{1}{6} + \frac{1}{9}= \\= \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}\ = \frac{3 + 1}{9} = \frac{4}{9}$

А искомая площадь закрашенной фигуры S1 составляет

$S_1=S - ( S_2 + S_3 + S_4 ) = 1 - ( S_2 + S_3 + S_4 ) = \\ = 1 - \bigg( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \bigg) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$