Question

50 баллов
Напишите все способы, которыми можно решить уравнение ниже
21+10t-t^2=0



​

Answer 1

Ответ:

1)  Решение через дискриминант .

$21+10t-t^2=0\ \ \ \to \ \ \ \ \ t^2-10t-21=0\\\\D=b^2-4ac=10^2+4\cdot 21=184=2\sqrt{46}\\\\t_{1,2}=\dfrac{10\pm \sqrt{184}}{2}\ \ ,\ \ t_1=5-\sqrt{46}\ ,\ \ t_2=5+\sqrt{46}$

2)  Решение с помощью выделения полного квадрата .

$21+10t-t^2=-(t^2-10t-21)=-\Big(\, (t-5)^2-25-21\Big)=\\\\=-(t-5)^2+46\\\\-(t-5)^2+46=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (\sqrt{46})^2-(t-5)^2=0\ \ ,\\\\(\sqrt{46}-t+5)(\sqrt{46}+t-5)=0\\\\a)\ \ \sqrt{46}-t+5=0\ \ \ \to \ \ \ t=5+\sqrt{46}\approx 11,8\\\\b)\ \ \sqrt{46}+t-5=0\ \ \ \to \ \ \ t=5-\sqrt{46}\approx -1,8$

3) Решение с помощью теоремы Виета.

$-t^2+10t+21=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}t_1+t_2=10\\t_1\cdot t_2=-21\end{array}\righ\ \ \left\{\begin{array}{l}t_2=10-t_1\\t_1\cdot (10-t_1)=-21\end{array}\righ$

$\left\{\begin{array}{l}t_2=10-t_1\\10t_1-t_1^2=-21\end{array}\righ\ \ \left\{\begin{array}{l}t_2=10-t_1\\t_1^2-10t_1-21=0\end{array}\righ$

Второе уравнение фактически получили такое же, как и было задано . Подобрать корни без решения уравнения через дискриминант в этом случае сложно . Поэтому реально работают первые два способа решения .

P.S.  Легко подобрать корни по теореме Виета , например, для такого уравнения  $x^2+3x-10=0\ \ ,\ \ x_1=2\ ,\ x_2=-5\ \ (x_1\cdot x_2=-10\ ,\ x_1+x_2=-3\ )$  .

4) Графический способ решения уравнения . Построить параболу и найти точки пересечения с осью ОХ . Но в данном случае точные значения найти практически невозможно. Только приближённые значения :  $x\approx -1,8\ \ ,\ \ x_2\approx 11,8$  .

Answer 2

Ответ:  t=5+√46;  t=5-√46;

Объяснение:

1) 21+10t-t²=0

-21-10t+t²=0

по формуле для приведенного кв. уравнения

t=5±√(25+21)=5±√46;   t=5+√46; t=5-√46;

2) по общей формуле корней через дискриминант.  ответ тот же.

(10±√(100+84))/2=(10±2√46)/2=5±√46; t=5-√46; t=5+√46;

3) выделением полного квадрата

(t-5)²=46

It-5I=√46; t-5=±√46;  t=5+√46;  t=5-√46;

4) строить не буду, но приведу пример, графический метод решения. правда. в нем есть и минус. не всегда дает точное решение.