№ 7. На доске написано число 1234567891234567891234567 Двое по очереди вычеркивают цифры. Проигрывает тот, после чьего хода либо не осталось цифр, либо число, образованное ими, делится на 3. Кто выиграет независимо от игры соперника?
Даю 40 баллов
Ответы
Ответ: 2 игрок
Пошаговое объяснение: заметим, что в начале игры у числа остаток от деления на 3 равен двум. Тогда посчитаем кол-во в этом числе цифр с остатком 1 (9), 2(8) и 0(8). Тогда заметим, что выигрышной стратегией будет являться симметрия, те при ходе соперника мы будем делать так, чтобы остаток стал равен 2 снова (на 1 отвечаем 2, на 0 отвечаем 0, а 2 не может быть тк число станет кратно 3). Тогда заметим, что после хода по нашей стратегии у игрока во 1 останется хотя бы одна цифра (иначе остаток был бы равен 0), а во 2 число не будет кратно 3. Также заметим, что 2 игрок выигрывает при использовании данной стратегии, тк после его хода кол-во цифр всегда нечетно, поэтому когда-то после его хода останется одна цифра и ее удали 1 игрок, тем самым проигрывая. также заметим, что нам всегда будет хватать цифр для выполнения хода, тк если мы действовали симметрично и у оппонента хватило цифр для хода, то у нас тоже хватит