Даны координаты вершин пирамиды А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4(7;5;9). Найти:
1.Длину ребра A1A2
2.Угол между ребрами A1A2 и A1A4
3.Угол между ребром A1A4 и гранью А1А2А3
4.Площадь грани А1А2А3
5. Объем пирамиды
6. Уравнение прямой А1А2
7. Уравнение плоскости А1А2А3
8. Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3
9. Сделать чертеж
Ответы
Даны координаты вершин пирамиды:
А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4(7;5;9).
Найти:
1) Длину ребра A1A2.
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Находим координаты вектора А1А2 по точкам A1( 4; 6; 5), A2 (6; 9; 4).
А1А2 = (6-4; 9-6; 4-5) = (2; 3; -1).
Длина А1А2 = √(2² + 3² + (-1)²) = √(4 + 9+ 1) = √14 ≈ 3,742.
2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4.
Вектор А1А2 найден и равен (2; 3; -1), модуль равен √14.
Находим координаты вектора А1А4 по точкам A1( 4; 6; 5), A4 (7; 5; 9).
А1А4 = (7-4; 5-6; 9-5) = (3; -1; 4).
Длина А1А4 = √(3² + (-1)² + 4²) = √(9 + 1 + 16) = √26.
Косинус угла между рёбрами A1A2 и A1A4 равен:
cos(A1A2_A1A4) = (2*3+3*(-1)+(-1)*4)/(√14*√26) = -1/√364 ≈ -0,05241.
Угол равен arccos (-0,05241) = 93,0045 градуса.
3) Угол между ребром A1A4 и гранью А1А2А3.
Надо составить уравнение плоскости А1А2А3.
Вектор А1А4 найден и равен (3; -1; 4). Его модуль равен √26.
Находим вектор А1А3 по точкам А1(4;6;5), А3(2;10;10).
А1А3 = (2-4; 10-6; 10-5) = (-2; 4; 5).
Находим векторное произведение A1A2xA1A3.
Вектор А1А2 равен (2; 3; -1).
i j k| i j
2 3 -1| 2 3
-2 4 5| -2 4 = 15i + 2j + 8k - 10j + 4i + 6k = 19i - 8j + 14k.
Найден нормальный вектор грани А1А2А3: (19; -8; 14).
Его модуль равен √(19² + (-8)² + 14²) = √(361 + 64 + 196) = √621 = 3√69.
sin(A1A4_A1A2A3) = (3*19+(-1)*(-8)+4*14)/(√26*3√69) = 121/(3√1794) ≈
≈ 0,95225.
Угол равен 72,2234 градуса.
4) Площадь грани А1А2А3.
Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 на А1А3, который по пункту 3) равен 3√69.
S = (1/2)* 3√69 ≈ 12,46 кв. ед.
5) Объем пирамиды.
Объём V пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения (А1A2хА1A3)*A1A4.
(А1A2хА1A3): 19 -8 14
А1А4: 3 -1 4
57 + 8 + 56 = 121
V = (1/6)*121 = 121/6 ≈ 20,167 куб. ед.
6. Уравнение прямой А1А2.
Уравнение составляем по точке А1(4; 6; 5) и вектору А1А2(2; 3; -1).
(x – 4)/2 = (y – 6)/3 = (z – 5)/(-1).
7. Уравнение плоскости А1А2А3.
Уравнение составляем по точке А1(4; 6; 5) и нормальному вектору А1А2А3(19; -8; 14).
19(x – 4) + (-8)(y – 6) + 14(z – 5) = 0. Получаем:
19x – 8y + 14z – 98 = 0.
8. Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Для прямой, содержащей высоту, направляющим вектором будет нормальный вектор плоскости А1А2А3(19; -8; 14).
По точке А1(4; 6; 5) составляем уравнение:
(x – 4)/19 = (y – 6)/(-8) = (z – 5)/14.
9. Сделать чертеж - дан во вложении.
![](https://st.uroker.com/files/15a/15a26218a41fa2fe7be1754baaf91d9e.png)