Question

Даны координаты вершин пирамиды А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4(7;5;9). Найти:

1.Длину ребра A1A2

2.Угол между ребрами A1A2 и A1A4

3.Угол между ребром A1A4 и гранью А1А2А3

4.Площадь грани А1А2А3

5. Объем пирамиды

6. Уравнение прямой А1А2

7. Уравнение плоскости А1А2А3

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3

9. Сделать чертеж

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды:

А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4(7;5;9).  

Найти:

1) Длину ребра A1A2.

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора А1А2 по точкам A1( 4; 6; 5), A2 (6; 9; 4).

А1А2 = (6-4; 9-6; 4-5) = (2; 3; -1).

Длина А1А2 = √(2² + 3² + (-1)²)  = √(4 + 9+ 1) = √14 ≈ 3,742.

2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4.

Вектор А1А2 найден и равен  (2; 3; -1), модуль равен √14.

Находим координаты вектора А1А4 по точкам A1( 4; 6; 5), A4 (7; 5; 9).

А1А4 = (7-4; 5-6; 9-5) = (3; -1; 4).

Длина А1А4 = √(3² + (-1)² + 4²)  = √(9 + 1 + 16) = √26.

Косинус угла между рёбрами A1A2 и A1A4 равен:

cos(A1A2_A1A4) = (2*3+3*(-1)+(-1)*4)/(√14*√26) = -1/√364 ≈ -0,05241.

Угол равен arccos (-0,05241) = 93,0045  градуса.

3) Угол между ребром A1A4 и гранью А1А2А3.

Надо составить уравнение плоскости А1А2А3.

Вектор А1А4 найден и равен (3; -1; 4). Его модуль равен √26.

Находим вектор А1А3 по точкам А1(4;6;5), А3(2;10;10).

А1А3 = (2-4; 10-6; 10-5) = (-2; 4; 5).

Находим векторное произведение A1A2xA1A3.

Вектор А1А2 равен (2; 3; -1).

i        j       k|       i       j

2      3     -1|      2       3

-2     4      5|    -2        4 = 15i + 2j + 8k - 10j + 4i + 6k = 19i - 8j + 14k.

Найден нормальный вектор грани А1А2А3: (19; -8; 14).

Его модуль равен √(19² + (-8)² + 14²)  = √(361 + 64 + 196) = √621 = 3√69.

sin(A1A4_A1A2A3) = (3*19+(-1)*(-8)+4*14)/(√26*3√69) = 121/(3√1794) ≈

                               ≈ 0,95225.

Угол равен 72,2234 градуса.

4) Площадь грани А1А2А3.

Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 на А1А3, который по пункту 3) равен 3√69.

S = (1/2)* 3√69 ≈ 12,46 кв. ед.

5) Объем пирамиды.

Объём V пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения (А1A2хА1A3)*A1A4.

(А1A2хА1A3): 19   -8   14

             А1А4: 3    -1    4

                        57 + 8 + 56 = 121

V = (1/6)*121 = 121/6 ≈ 20,167 куб. ед.

6. Уравнение прямой А1А2.

Уравнение составляем по точке А1(4; 6; 5) и вектору А1А2(2; 3; -1).

(x – 4)/2 = (y – 6)/3 = (z – 5)/(-1).

7. Уравнение плоскости А1А2А3.

Уравнение составляем по точке А1(4; 6; 5) и нормальному вектору А1А2А3(19; -8; 14).

19(x – 4) + (-8)(y – 6) + 14(z – 5) = 0. Получаем:

19x – 8y + 14z – 98 = 0.

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Для прямой, содержащей высоту, направляющим вектором будет нормальный вектор плоскости А1А2А3(19; -8; 14).

По точке А1(4; 6; 5) составляем уравнение:  

(x – 4)/19 = (y – 6)/(-8) = (z – 5)/14.

9. Сделать чертеж - дан во вложении.