Question

Довести нерівність a^2*b^2+a^2+b^2+4>6ab

Answer 1

Положим $b = ax$. Тогда $a^4x^2+a^2+a^2x^2+4>6a^2x$, откуда требуется доказать, что $x^2(a^4+a^2)-6a^2x+a^2+4>0$ при всех $x$, а потому дискриминант должен быть отрицательным: $36a^4-4(a^4+a^2)(a^2+4)<0 \Leftrightarrow a^4-4a^2+4 = (a^2-2)^2>0$, что верно при $a\neq \pm \sqrt{2}$.

Случай, когда $a=0$ очевиден: $b^2+4>0$.