Question

Алфавит языка некоторого племени состоит из 26 букв: a1, а2, а3, ..., a26 Суммой букв аi, и аj назовём букву ai+ј, если i+j< 26, букву ai+j-26, если i+j > 26. Суммой двух слов одинаковой длины назовём слово, каждая буква которого является суммой соответствующих букв этих слов. Например, a8a12a3 + a5a21a1 = a8+5a12+21-26a3+1 = a13a7a4. Докажите, что сумма любого слова из 26 различных букв со словом a1a2a4 . . . a26 даст слово, в котором есть хотя бы две одинаковые буквы.​

Answer 1

Сразу переформулируем задачу. Во-первых, $a_{i}+a_{j} = a_{i+j\mod 26}$. Во-вторых, требуется доказать, что в перестановке $\left(\begin{array}{ccccc}1&2&\ldots&25&26\\x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{25}&x_{26}\end{array}\right)$ найдутся такие номера $i,j$, что $i+x_{i}\equiv j+x_{j} \mod 26$. Пусть это не так. Тогда это все равно, что уравнение $t+x_{t} \equiv n \mod 26$ имеет решение $t$ для любого $n$. Однако просуммировав обе части уравнения по всем $t\in \overline{1,26}$, получим $2\sum\limits_{j=1}^{26}j \equiv \sum\limits_{j=1}^{26}j \mod 26 \Leftrightarrow \sum\limits_{j=1}^{26}j = \dfrac{26\cdot 27}{2} = 13\cdot 27\equiv 0\mod 26$, противоречие.