Question

Правда ли ,что есть такие пять последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых делится на 5 без остатка. Правда ли это? ​

Answer 1

Да, это правда

Например: 1, 2, 3, 4, 5

1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

55 / 5 = 11

Answer 2

Нам нужно доказать, что сумма квадратов последовательных натуральных чисел кратна пяти.

Пусть первое число - $n$, тогда последующие будут выглядеть как $n+1$, $n+2$, $n+3,$ $n+4$.

Сумма квадратов этих чисел выглядит следующим образом:

$\displaystyle n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2=n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)+(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)=n^2+n^2+n^2+n^2+n^2+2n+4n+6n+8n+1+4+9+16=5n^2+20n+30=5(n^2+4n+6)$

*Примечание: скобки раскрываем по формуле квадрата суммы  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Т.к. после приведения подобных слагаемых мы получаем три слагаемых, каждое из которых делится на 5, все выражение тоже делится на 5. Для наглядности этот множитель я вынесла за скобки.

Если нужно привести пример, то:$5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=25+36+49+64+81=255$ делится на 5 без остатка

$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55$ делится на 5 без остатка

$2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=4+9+16+25+36=90$ делится на 5 без остатка

А так сумма квадратов любых последовательных натуральных чисел будет делиться на 5 без остатка.

Ответ: да, правда.