Question

3^x+2^x=5^x решить уравнение ​

Answer 1

Корень $x=1$ угадывается сразу. Покажем, что других корней нет. Для этого можно было бы изучить функцию $3^x+2^x-5^x$, но она не является монотонной. Вместо этого поделим уравнение на $5^x$, получив $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x} = 1$, после чего изучим функцию $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x} - 1$. Она уже очевидно монотонна (как сумма монотонно убывающих), а потому и решение может быть только одно.

Показать это можно и просто вычислив производную: $(3/5)^x\ln(3/5) = -(2/5)^x\ln(2/5) \Rightarrow (3/2)^x = -\dfrac{\ln(2/5)}{\ln(3/5)}<0$.