Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причём AD = 2BC.
На стороне CD взята точка М. Известно, что DM : MC = 2:3.
а) Докажите, что прямая BM разбивает треугольник ACD на две фигуры,
площади которых относятся как 9 к 46.
б) Найдите площадь четырёхугольника AKMD, где К — точка пересечения
20
—-
3
концами на боковых сторонах трапеции, проходящий через точку
пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равен
22.
Помогите срочно !!!

Answer 1

Ответ:

а) Отношение доказано  

$\displaystyle \frac{S_{CKM}}{S_{AKMD}} =\frac{9}{46}$

б) Площадь четырехугольника $\displaystyle S_{AKMD}=92$ ед.²

Пошаговое объяснение:

В задаче требуется:

а) Доказать, что прямая ВМ разбивает треугольник ACD на две фигуры, площади которых относятся как 9 : 46.

б) Найти площадь четырёхугольника AKMD.

Дано: ABCD - трапеция;

AD = 2BC - основания;

DM : MC = 2 : 3;

СЕ = $\displaystyle \frac{20}{3}$ - высота;

OН = 22; OН || BC || AD.

a) Доказать:

$\displaystyle \frac{S_{CKM}}{S_{AKMD}} =\frac{9}{46}$

б) Найти : $S_{AKMD}$

a) Доказательство (рис. а):

Проведем  MP || BC || AD.

Пусть ВС = а, тогда AD = 2a.

Пусть DM = 2x, тогда МС = 3х, а CD = 5x.

1. Рассмотрим ∠ACD.

PM || AD (построение);

CM : MD = 3 : 2

• Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшиеся на другой стороне угла.

⇒ CP : PA = 3 : 2.

Пусть АР = 2у, тогда СР = 3у, a AC = 5y.

2. Рассмотрим ΔACD и ΔРСМ.

РМ || AD (построение)

• Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔACD ~ ΔРСМ.

Запишем отношение сходственных сторон и найдем РМ:

$\displaystyle \frac{PM}{AD}=\frac{PC}{AC}\\ \\ \frac{PM}{2a} =\frac{3y}{5y} \;\Rightarrow \;\boxed {PM=\frac{6a}{5} }$

3. Рассмотрим ΔКВС и ΔРКМ.

∠1 = ∠2 (вертикальные)

∠3 = ∠4 (накрест лежащие при ВС || РМ и секущей РС)

⇒   ΔКВС ~ ΔРКМ (по двум углам)

Запишем отношение сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{BC}{PM}=\frac{CK}{KP} \\\\\frac{CK}{KP}=\frac{a*5}{6a} \;\Rightarrow \;\boxed { \frac{CK}{KP}=\frac{5}{6} }$

⇒ СК = 5 частей,  КР = 6 частей, а СР = 11 частей.

С другой стороны СР = 3у

Выразим СК:

$\displaystyle CK = \frac{3y*5}{11}=\frac{15y}{11}$

4. Выразим площади.

Воспользуемся формулой:

$\displaystyle \boxed {S=\frac{1}{2}ab\;sin\alpha }$ , где a и b - стороны треугольника; α - угол между ними.

$\displaystyle S_{ACD}=\frac{AC*CD}{2} *sin\angle{ACD}=\frac{5y*5x}{2}sin\angle{ACD}=\frac{25}{2} xy\;sin\angle{ACD}$

$\displaystyle S_{KCM}=\frac{KC*CM}{2} sin\angle{ACD}=\frac{15y*3x}{2*11} \;sin\angle{ACD}=\frac{45}{22}\;xy\;sin\angle{ACD}$

Найдем площадь AKMD:

$\displaystyle S_{AKMD}=S_{ACD}-S_{KCM}=\\\\=\left(\frac{25}{2}-\frac{45}{22} \right)\;xy\; sin\angle{ACD}=\\\\=\frac{275-45}{22}\;xy\; sin\angle{ACD}=\frac{115}{11}\;xy\;sin\angle{ACD}$

5. Найдем искомое отношение:

$\displaystyle \frac{S_{CKM}}{S_{AKMD}} ==\frac{45\; xy\;sin\angle{ACD}*11}{22*115\;xy \;sin\angle{ACD}} =\frac{9}{46}}$

⇒   $\displaystyle \frac{S_{CKM}}{S_{AKMD}} =\frac{9}{46}$     Что и требовалось доказать.

б) Решение (рис. б)

1. Рассмотрим ΔBCL и ΔALD.

∠BLC = ∠ALD (вертикальные)

∠ВСL = ∠LAD (накрест лежащие при BC || AD и секущей АС)

⇒ ΔBCL ~ ΔALD (по двум углам)

Запишем отношение сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{BC}{AD}=\frac{CL}{LA}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\\\\\Rightarrow \;\frac{CL}{LA} =\frac{1}{2}$

2. Рассмотрим ΔAOL и ΔABC

OL || BC (условие)

⇒ ΔAOL ~ ΔABC (лемма)

Запишем отношение сходственных сторон и найдем OL:

$\displaystyle \frac{OL}{BC}=\frac{AL}{AC} \\\\\frac{OL}{a} =\frac{2}{3}\;\Rightarrow \;OL=\frac{2a}{3}$

3.  Рассмотрим ΔLCH и ΔACD

HL || AD (условие)

⇒ ΔLCH ~ ΔACD (лемма)

Запишем отношение сходственных сторон HL:

$\displaystyle \frac{HL}{AD}=\frac{CL}{AC} \\\\\frac{HL}{2a} =\frac{1}{3}\;\Rightarrow \;HL=\frac{2a}{3}$

4. OH = OL + LH

$\displaystyle OH = \frac{2a}{3}+\frac{2a}{3} =\frac{4a}{3}\\ \\OH = 22\\\\\frac{4a}{3}=22\;\Rightarrow \;AD= 2a=33$

5. Зная основание и высоту, найдем площадь ΔACD по формуле:

$\displaystyle \boxed {S=\frac{1}{2}ah}$ , где a и h -основание и высота соответственно.

$\displaystyle S_{ACD}=\frac{1}{2}AD*CE=\frac{33*20}{2*3}=110$

6. Из пункта а) знаем отношение

$\displaystyle \frac{S_{CKM}}{S_{AKMD}} =\frac{9}{46}$

То есть, на $\displaystyle S_{AKMD}}$ приходится 46 частей, ⇒ на $\displaystyle S_{ACD}$ - (46+9) = 55 (частей)

Можем найти искомую площадь $\displaystyle S_{AKMD}$:

$\displaystyle S_{AKMD}} =\frac{S_{ACD}*46}{55}=\frac{110*46}{55}=92$ (ед²)

Площадь искомого четырехугольника S (AKMD) = 92 (ед².)