Question

Разложите на множители многочлен x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1 и найдите его значение при x = - 4

Answer 1

Дан многочлен $x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1$
Чтобы разложить на множители, нужно понять, при каких иксах многочлен обращается в ноль. Корни должны быть среди делителей свободного члена, то есть 1. Делители это 1 и -1. Проверим х = 1
$1+1-2-2+1+1 = 2-2-2+2 = 0$, значит x = 1 корень. Проверим x = -1
$-1+1+2-2-1+1 = 3-3-1+1 = 0$, значит х= -1 также корень. Можно делить уголком сначала на x+1, затем на x-1, но мы вынесем общий множитель, так пойдёт легче$x^4(x+1)-2x^2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x^4-2x^2+1) = (x+1)(x^2-1)^2 = (x+1)(x+1)^2(x-1)^2 = (x+1)^3(x-1)^2$

Тогда выражение при х = -4 принимает вид:
$(-4+1)^3\cdot(-4-1)^2 = (-3)^3\cdot(-5)^2 = -27\cdot25 =-675$