Question

Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов

Answer 1

Многогранный угол составлен боковыми сторонами $n$-угольной пирамиды, в основании которой лежит выпуклый $n$-угольник. Рассмотрим одну из таких сторон. Докажем, что $\gamma<\theta$ (см. рисунок). Тогда $\cos\theta = \dfrac{\vec{d}\vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|}$ и $\cos\gamma = \dfrac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{(\vec{d}+\vec{h})(\vec{e}+\vec{h})}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{\sqrt{d^2+h^2}\sqrt{e^2+h^2}}$.  Вот сейчас будет немного муторно: $\dfrac{\cos\gamma}{\cos\theta} = \dfrac{\underbrace{\vec{d}\vec{e}}_{=s}+h^2}{s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}}$. Однако $s+h^2> s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}$, действительно, $1+\dfrac{2h^2}{s}+\dfrac{h^4}{s^2}>1+\dfrac{h^2}{e^2}+\dfrac{h^2}{d^2}+\dfrac{h^4}{e^2d^2}$, что верно, поскольку каждое слагаемое слева (кроме единицы) больше соответствующего слагаемого справа. Поэтому $\cos\gamma >\cos\theta \Rightarrow \gamma <\theta$. Теперь спроецировав вершину $O$ многогранного угла на плоскость (многоугольник), получим, что сумма плоских углов меньше суммы углов при вершине $O'$ проекции $O$, которая равна в точности $360^{\circ}$, что и требовалось.