Question

Помогите пожалуйста!!!! Умоляю

Выяснить , является ли множество М кольцом ( полем) относительно указанных операций :

Answer 1

Пара $(M,+)$ является абелевой группой. Кроме того, умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, в чем нетрудно убедиться непосредственно это посчитав. Поэтому $(M,+,\cdot)$ -- кольцо.

Однако это кольцо является еще и полем, поскольку оно коммутативно и всякий ненулевой элемент обратим. В самом деле, достаточно показать, что система $\begin{cases}ac-5bd=1\\bc+ad=0\end{cases}$ имеет решение для любого ненулевого вектора $(a\;b)^{T}$. В самом деле, матрица $\left(\begin{array}{cc}a&-5b\\b&a\end{array}\right)$ всегда обратима, поскольку $\det\left(\begin{array}{cc}a&-5b\\b&a\end{array}\right) = a^2+5b^2>0$. Поскольку коэффициенты системы рациональны, то и решение представляет собой элемент $M$.