Question

В таблице 5х5 расставлены цифры так, что в каждой строке и каждом столбце получается пятизначное число, и все десять этих чисел различны. Какое наименьшее значение может принимать сумма цифр в таблице? (А) 13 (5) 14 (В) 15 (T) 16 (Д) 17​

Answer 1

Будем считать началом пятизначного числа по горизонтали левый столбец, а началом по вертикали -- верхнюю строку.

Ясно, что на первых строке и столбце должны располагаться ненулевые числа, причем они не могут быть все равными единице, поскольку иначе будет два числа $11111$. Итак, в таблице уже должны стоять числа, сумма которых не менее $5+5 = 10$. Договоримся считать сумму $s$ цифр всех чисел, потому она будет ровно в два раза больше суммы цифр во всей таблице, поскольку каждая цифра таким образом входит в два числа. Значит, пока $s$ не менее $20$. Теперь отрежем уголок , состоящий из первых строки и столбца. В новой таблице $4\times 4$ мы можем взять не более двух <<чисел>> $0000$ (одно из них $10000$, другое $20000$). Заметим, что оставшиеся $6$ чисел не могут все иметь сумму $2$, поскольку одна единица у них уже фиксирована (начальная), а для второй есть $4$ места. Поэтому чисел с суммой $2$ не более трех. Оставшиеся три числа имеют сумму минимум $3$. Итого, $s\geq 20+3\cdot 1+3\cdot 2 = 29$, следовательно, сумма чисел в таблице хотя бы $15$. Пример такой: $\left(\begin{array}{ccccc}1&2&1&1&1\\1&0&1&0&0\\1&0&0&1&1\\1&0&0&0&1 \\ 1&0&0&1&0 \end{array}\right)$.