Question

Здравствуйте помогите с решением задачи, подробнее пожалуйста ​

Answer 1

В числителе и знаменателе дроби аналитические функции. Значит, конечные особые точки - это нули знаменателя. Это, соответственно, $z_1=0;z_2=1;z_3=-1$.

1) $f(z)=\dfrac{\frac{1}{1-z^2}}{z^3}=\dfrac{\varphi_1(z)}{z^3}$, при этом $\varphi_1(z_1)\neq 0$ и $\varphi_1(z)$ в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, $z_1=0$ - полюс порядка 3. Значит, вычет в этой точке $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{z_1}f(z)=\dfrac{1}{2!}\lim\limits_{z\to z_1}\left(\varphi_1(z)\right)''=(*)$

$\varphi_1''(z)=\left(\dfrac{2z}{(1-z^2)^2}\right)'=\dfrac{2(1-z^2)^2-2z\cdot 2(1-z^2)\cdot (-2z)}{(1-z^2)^4}=\\ =\dfrac{2+6z^2}{(1-z^2)^3}$

$(*)=\dfrac{1}{2!}\cdot \dfrac{2}{1^4}=1$

2) $f(z)=\dfrac{-\frac{1}{z^3(1+z)}}{z-1}=\dfrac{\varphi_2(z)}{z-1}$, при этом $\varphi_2(z_2)\neq 0$ и $\varphi_2(z)$ в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, $z_2=1$ - полюс порядка 1. Значит, вычет в этой точке $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{z_2}f(z)=\varphi_2(z_2)=-\frac{1}{1^3(1+1)}=-\dfrac{1}{2}$

3) $f(z)=\dfrac{\frac{1}{z^3(1-z)}}{z+1}=\dfrac{\varphi_3(z)}{z+1}$, при этом $\varphi_3(z_3)\neq 0$ и $\varphi_3(z)$ в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, $z_3=-1$ - полюс порядка 1. Значит, вычет в этой точке $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{z_3}f(z)=\varphi_3(z_3)=\frac{1}{(-1)^3(1-(-1))}=-\dfrac{1}{2}$

4) Так как сумма вычетов во всех особых точках равна 0, вычет в бесконечно удаленной точке равен $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{\infty}f(z)=-\left(1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)=0$