Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює b,
а плоский кут при вершині піраміди дорівнює b. Знайдіть об’єм
піраміди.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b,
а плоский угол при вершине пирамиды равен b. Найдите объем
пирамиды.
Ответы
Ответ:
V = (1/6)·b³·(1-cosβ)·√(1+2Cosβ).
Объяснение:
Пирамида правильная, значит АВ=ВС=АС, SA=SB=SC = b.
По теореме косинусов ВС² = b² + b² - 2·b·b·cosβ = 2b²(1-cosβ).
Площадь основания правильного треугольника АВС равна:
Sabc = (√3/4)·a² (формула). В нашем случае:
Sabc = (√3/4)·BC² = (√3/4)·2b²(1-cosβ) = (√3/2)·b²(1-cosβ).
Объем пирамиды равен : V = (1/3)·Sabc·h, где h = SO - высота пирамиды.
Найдем SO из прямоугольного треугольника ASO по теореме Пифагора.
Для этого сначала найдем отрезок АО, который равен (2/3)·АН (формула), где АН - высота правильного треугольника АВС.
АН = (√3/2)·а (формула), где а - сторона треугольника. В нашем случае
АН = (√3/2)·√(2b²(1-cosβ)). => AO = (2/3)·(√3/2)·√(2b²(1-cosβ)).
По Пифагору SO = √(SA²-AO²) или
SO = √(b²- (4/9)·(3/4)·(2b²(1-cosβ))) = b√((1+2Cosβ)/3).
Тогда объем пирамиды равен
V = (1/3)·Sabc·h = (1/3)·(√3/2)·b²(1-cosβ)·b√((1+2Cosβ)/3) или
V = (√3/6)·b³·(1-cosβ)·√((1+2Cosβ)/3) или
V = (√3/18)·b³·(1-cosβ)·√(3(1+2Cosβ)) или
V = (1/6)·b³·(1-cosβ)·√(1+2Cosβ).
