Question

Настя записала по кругу четные числа от 18 до 36 и для каждой пары соседей нашла их наибольший общий делитель.

Могла ли Настя записать числа так, что все наибольшие общие делители равны 2?
​

Answer 1

Пусть Настя смогла это сделать. Разделим числа на две группы -- те, которые делятся на $2$, но не делятся на $4$, и те, что делятся на $4$. Заметим, что в обеих группах поровну чисел, а потому они должны чередоваться на окружности. Поделим все числа на $2$ -- получатся числа $9,10,\ldots,18$. Теперь рядом стоящие числа взаимно просты, а четные и нечетные чередуются. Тогда рядом с числом $18$ должны располагаться два числа из $11,13,17$ (оставшиеся два нечетных делятся на $3$), рядом с $12$ тоже должны располагаться два из этих числа. Теперь можно попробовать расставить числа. Оказывается это возможно. Остается все умножить обратно на $2$ и записать результат: $22,24,26,28,30,32,18,20,34,36$ (крайние тоже соседи).