Question

Хорошим будем называть натуральное число, все цифры которого (в десятичной записи)
различные, идут в порядке возрастания, считая от разряда единиц к старшим разрядам, и среди
которых нет четырех идущих подряд (например, 3, 4, 5 и 6 не должны присутствовать в хорошем
числе одновременно). Сколько существует хороших чисел, записываемых цифрами от 1 до 8? Желательно с объяснением решения

Answer 1

Посчитаем сначала количество чисел, записываемых цифрами от $1$ до $8$, а затем из этого числа вычтем те, среди которых есть четыре идущих подряд. Сразу заметим, что если в таком числе есть четыре подряд идущих числа, то и в самом числе они должны идти подряд.

Выпишем числа от $1$ до $8$: $1,2,3,4,5,6,7,8$. Любые $j,\; j\in \overline{0,7}$ вычеркнутых цифры оставят число, в котором цифры идут по возрастанию. Наоборот, любое такое число может быть получено описанной операцией. Число способов вычеркнуть: $\sum\limits_{j=0}^{7}\binom{8}{j} = 2^{8}-1$.

Теперь посчитаем количество тех, в которых есть четыре подряд идущих. В этом случае мы можем вычеркивать только из $4$-ех оставшихся чисел. Поскольку четверок подряд идущих $5$, то всего искомых чисел $5\cdot \sum\limits_{j=0}^{4}\binom{4}{j} = 5\cdot 2^{4}$.

Итого $2^8-1-5\cdot 2^4 = 256-1-80 = 175$.