Question

Алгебра 9 класс. 30 БАЛЛОВ
Докажите неравенство

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+...+\dfrac{1}{n(n+3)}<\dfrac{1}{3}$

Выполним запись:

$\dfrac{A}{k}+\dfrac{B}{k+3}=\dfrac{1}{k(k+3)}\\\\ A\cdot(k+3)+B\cdot k=1\\\\ k\cdot(A+B)+3A=1$

$\left\{\begin{array}{c}A+B=0\\3A=1\end{array}\right,\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{c}B=-\dfrac{1}{3}\\A=\dfrac{1}{3}\end{array}\right;$

Тогда верно, что:

$\dfrac{1}{k(k+3)}=\dfrac{1}{3k}-\dfrac{1}{3(k+3)}$

Значит неравенство можно переписать:

$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{21}+...+\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{3(n+3)}<\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3(n+3)}<\dfrac{1}{3}$

Верность этого неравенства очевидна для любого $n\in\mathbb{N}$, а значит и исходное неравенство верно.

Доказано!