Question

Найти частное решение уравнения (х^2+1) dy =2xydx где у0=2, x0=1

Answer 1

Ответ: y=x²+1.

Пошаговое объяснение:

Запишем уравнение в виде (x²+1)*dy-2*x*y*dx=0. Разделив его на произведение y*(x²+1), получим уравнение с разделёнными переменными: dy/y-2*x*dx/(x²+1)=0. Так как d(x²+1)=2*x*dx, то это уравнение можно переписать так: dy/y-d(x²+1)/(x²+1)=0. Интегрируя, получим: ln/y/-ln(x²+1)=ln/C/, где C- произвольная, но не равная нулю постоянная. Отсюда y/(x²+1)=C и y=C*(x²+1). Используя теперь условие y(x0)=y0=2, получаем уравнение 2=C*(1²+1), откуда C=1. Тогда искомое частное решение y=x²+1.  

Замечание: решением уравнения, очевидно, является также y=0, но это решение является тривиальным и мы его не пишем.