Question

Известно что последовательность XnYn расходится
Верно ли что:....
Распишите все подробно, даю все 100 баллов, на картинке вопрос

Answer 1

Ответ:

а) нет;

б) да

Пошаговое объяснение:

а) Пусть $(x_n)=1,(y_n)=n$. Тогда последовательность $(x_ny_n)=1\cdot n=n$ расходится, но при этом последовательность $(x_n)$ сходится. Значит, необязательно обе последовательности должны быть расходящимися.

б) Предположим противное: пусть обе последовательности сходятся, то есть $\lim_{n \to \infty} x_n=A, \lim_{n \to \infty} y_n=B$. Но тогда по арифметическим свойствам предела $\lim_{n \to \infty} x_ny_n=AB$, то есть последовательность $(x_ny_n)$ сходится. Противоречие. Значит, хотя бы одна из них должна быть расходящейся.