Question

В тупоугольном треугольнике ABC на большей стороне AC выбрано точка M так, что =2∙, =2∙. Точка O – центр описанной около ∆ ABC окружности. Найти угол OMB.

Answer 1

Решил только в лоб...

Пусть $BM=x$, тогда $AM = x,\; CM=4x,\; BM=2x$. Поскольку $D$ -- середина $AC$, то $MD = 1.5x,\; DC=2.5x$. Пусть радиус окружности $R$, тогда $OD^2 = R^2-6.25x^2 \Rightarrow MO^2 = 2.25x^2+R^2-6.25x^2 = R^2-4x^2$, следовательно, $MO^2+BM^2 = R^2-4x^2+4x^2 = R^2 = BO^2$, то есть треугольник $\triangle BMO$ -- прямоугольный и $\angle OMB = 90^{\circ}$.

Answer 2

Продлим BM до пересечения с окружностью в точке D.

Пусть AM=1, тогда BM=2, MC=4

AM*MC=BM*MD (теорема о пересекающихся хордах)

1*4=2*MD => MD=2

=> BM=MD

Радиус делит хорду BD пополам, следовательно перпендикулярен ей.

(в равнобедренном △BOD медиана OM является высотой)

∠OMB=90°