Question

Может ли квадратное уравнение х^2 + bx – 8 = 0.
а) не иметь корней;
б) иметь равные корни;
в) иметь два различных корня разных знаков;
г) иметь два различных корня одного и того же знака?

Answer 1

Ответ:

a) Нет не может:
Если уравнение не имеет корней, то дискриминант меньше нуля:

$b^2-4*(-8)<0\\b^2+32<0\\b^2<-32\\b\neq R$

Нет такого b, чтобы корней не было

б) Нет не может:
Если уравнение имеет два равных корня, то дискриминант равен нулю:
$b^2+32=0\\ b^2=-32\\ b\neq R$

Нет такого рационального числа которое в квадрате дает отрицательно число

в) Да может

Согласно теореме Виета, произведение корней равно свободному члену, а он отрицательный, значит один из корней отрицательный, а другой положительный, также D>0:
$x_1*x_2=-8=>\\ x_1>0\\ x_2<0\\ b^2>-32\\ b=R$

г) Нет не может

Так как если корни разных знаков, то их произведение всегда положительно, то есть не может быть равно -8 (по теореме Виета):
$(-)*(-)=+\\ (+)*(+)=+\\ (+/-)*(+/-)\neq -8$