Question

Сфера, радиус которой 30, проходит через вершины А и S правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и делит ребро SC в отношении 1:7, считая от вершины S. Боковое ребро пирамиды 60. Высота SH пирамиды равна:
Выберите один ответ. а)45, b)32,с)50, d)35​

Answer 1

Вершины A и S - это концы бокового ребра AS.

Значит, центр сферы, радиус которой 30 и проходит через вершины А и S, находится в середине ребра AS.

Так как точки A, S и C лежат в одной плоскости (это диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды SABCD), то точка Е на ребре SC лежит на окружности радиуса 30.

Получаем прямоугольный треугольник ASE.

sin(SAE) = 7,5/60 = 1/8.

По свойству углов прямоугольного треугольника cos(ASE) = sin(SAE)

Высота SH делит угол ASE пополам.

Используем формулу половинного угла.

соs(АSН) = √((1-(1/8)/2) = √(9/16) = 3/4.

Отсюда находим высоту пирамиды.

SH = AS*cos(ASH) = 60*(3/4) = 45.

Ответ: высота SH пирамиды равна 45.