Question

Период обращения Луны вокруг Земли равен 27 суткам. Считая орбиту Луны окружностью, определите радиус орбиты.

Решение:

По закону всемирного тяготения сила взаимодействия
1) $F = G\frac{M_{e} M_{m}}{r^{2}}$, где $M_{e}$ — масса Земли, $M_{m}$ — масса Луны, $r$ — радиус орбиты Луны.

С другой стороны, Луна движется только с центростремительным ускорением, значит по II закону Ньютона
2) $F=M_{m}a$, где $a$ — центростремительное ускорение;
3) $a=w^{2}r$, где $w$ — угловая скорость;
4) $w=\frac{2\pi}{T}$, где $T$ — период обращения Луны вокруг Земли.
5) $a=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$
6) $F=M_{m}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

Тогда
7) $G\frac{M_{m}M_{e}}{r^{2}}=M_{m}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$
8) $GM_{e}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r^{3}$

К слову, масса Земли, которая фигурирует в последней формуле, была вычислена в 1798 году Генри Кавендишем на основе уже известного в то время радиуса Земли. Радиус же Земли был вычислен опытным путём в 240 году до нашей эры Эратосфеном Киренским. Поэтому предлагаю перейти в нашей формуле от массы Земли к радиусу Земли. Мы знаем, что тело на поверхности Земли движется с ускорением $g$, и на основе вышеизложенного можем написать аналогичное уравнение
9) $G\frac{mM_{e}}{R_{e}^{2}}=mg$, где $R_{e}$ — радиус Земли;
10) $M_{e}=\frac{R_{e}^{2}g}{G}$

Подставим массу Земли в формулу 8.
$G\frac{R_{e}^{2}g}{G}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r^{3}$

$r = \sqrt[3]{\frac{R_{e}^{2}T^{2}g}{4\pi^{2} }}$

Answer 1

По закону всемирного тяготения сила взаимодействия

1) $F=G\frac{M_{e}M_{m}}{r^{2}}$, где $M_{e}$ — масса Земли, $M_{m}$ — масса Луны, $r$ — радиус орбиты Луны.

С другой стороны, Луна движется только с центростремительным ускорением, значит по II закону Ньютона

2) $F=M_{m}a$, где $a$ — центростремительное ускорение;

3) $a=w^{2}r$, где $w$ — угловая скорость;

4) $w=\frac{2\pi}{T}$, где $T$ — период обращения Луны вокруг Земли;

5) $a=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

6) $F=M_{m}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

Тогда

7) $G\frac{M_{m}M_{e}}{r^{2}}=M_{m}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$

8) $GM_{e}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r^{3}$

К слову, масса Земли, которая фигурирует в последней формуле, была вычислена в 1798 году Генри Кавендишем на основе уже известного в то время радиуса Земли. Радиус же Земли был вычислен опытным путём в 240 году до нашей эры Эратосфеном Киренским. Поэтому предлагаю перейти в нашей формуле от массы Земли к радиусу Земли. Мы знаем, что тело на поверхности Земли движется с ускорением $g$, и на основе вышеизложенного можем написать аналогичное уравнение

9) $G\frac{mM_{e}}{R_{e}^{2}}=mg$, где $R_{e}$ — радиус Земли;

10) $M_{e}=\frac{R_{e}^{2}g}{G}$

Подставим массу Земли в формулу 8.

$G\frac{R_{e}^{2}g}{G}=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r^{3}$

$r=\sqrt[3]{\frac{R_{e}^{2}T^{2}g}{4\pi^{2}}}$