Question

Докажите, что уравнение х^3-7у^3=2 не имеет решений в целых числах.

Answer 1

Достаточно рассмотреть остатки, которые могут давать кубы при делении на $7$: $1^{3}\equiv 1 \mod 7,\; 2^3\equiv 1\mod 7,\; 3^3\equiv 6 \mod 7,\; 4^3\equiv 1\mod 7,\\ 5^3 \equiv 6 \mod 7,\; 6^3\equiv 6 \mod 7$

Взяв уравнение по модулю $7$, получим $x^3 \equiv 2 \mod 7$, противоречие.