Question

Решите, пожалуйста. Задание по алгебре.

Answer 1

Ответ:

$(-\infty; 1)\cup (1;2)$

Объяснение:

Перенесём один из корней влево, а одну из семёрок — вправо следующим образом:

$7^{ax^2-2x}-7^{x^2-1}=\sqrt[7]{2x-ax^2}-\sqrt[7]{1-x^2} \\7^{ax^2-2x}-\sqrt[7]{2x-ax^2}=7^{x^2-1}-\sqrt[7]{1-x^2}\\7^{ax^2-2x}+\sqrt[7]{ax^2-2x} =7^{x^2-1}+\sqrt[7]{x^2-1}$

Рассмотрим функцию $f(x)=7^x+\sqrt[7]{x}$. Она представляет собой сумму двух монотонно возрастающих функций (показательная и функция корня седьмой степени), следовательно она также монотонно возрастает. Значит, каждому аргументу соответствует ровно одно значение функции, то есть функция f(x) взаимно однозначна.

Уравнение в таком случае принимает следующий вид:

$f(ax^2-2x)=f(x^2-1)$

Поскольку каждому значению функции соответствует только одно значение аргумента, равенство значений функции можно свести к равенству её аргументов:

$ax^2-2x=x^2-1\\(a-1)x^2-2x+1=0$

Если $a-1=0\Leftrightarrow a=1$, то это линейное уравнение, имеющее не более одного корня, что не подходит.

Если $a\neq 1$, то это квадратное уравнение. Оно имеет два корня при положительном дискриминанте:

$D=4-4(a-1)=4(2-a)>0\Leftrightarrow a<2$

Учитывая, что $a\neq 1$, получаем ответ $a\in (-\infty; 1)\cup (1;2)$