Question

О секторе на чертеже дано AB=6, OA=5. Чему равен радиус вписанной в секторе окружности?​

Answer 1

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен 1,875.

Объяснение:

Дано:

АВ = 6

ОА = 5

Найти:

r - радиус вписанной окружности

Решение:

Смотри прикреплённый рисунок.

ΔОАВ - равнобедренный: ОА = ОВ = R = 5 - радиусу большей окружности.

Сделаем дополнительные построения.

Через центр большей окружности О  и центр вписанной окружности Н проведём отрезок ОС = R.

Расстояния от центра Н вписанной окружности до точек касания сторон ОА и ОВ в ΔОАВ равны радиусу r вписанной окружности.

Поскольку центр Н, лежащий на отрезке ОС, равноудалён от сторон ОА и ОВ треугольника, то ОС - биссектриса, так как если точки луча, проведённого из вершины угла О равноудалены от сторон этого угла, то этот луч ОС - биссектриса угла О. Поскольку ОК ∈ ОС, то ОК является биссектрисой угла О в ΔОАВ.

В равнобедренном треугольнике ОАВ биссектриса ОК угла О, лежащего против основания АВ, является высотой этого треугольника и медианой основания АВ.

Таким образом точка К делит отрезок АВ пополам и

АК = ВК = 0,5 АВ = 3.

Треугольник ОАК - прямоугольный с гипотенузой ОА. Поэтому

$sin~\alpha = \dfrac{AK}{OA} = \dfrac{3}{5} =0,6.$

В прямоугольном треугольнике ОМН

$sin~\alpha = \dfrac{MH}{OH} = \dfrac{r}{R-r} ,$

откуда радиус r вписанной окружности равен

$r = \dfrac{R\cdot sin~\alpha}{1 + sin~\alpha} = \dfrac{5\cdot 0.6}{1 + 0.6} = 1,875.$