Question

С объяснением пожалуйста ​
Если .....то найдите.....

Answer 1

Дано:   $\sin a+\sin b=2\sin(a+b).$ Нужно узнать, чему равно произведение   ${\rm tg}\frac{a}{2}\cdot {\rm tg}\ \frac{b}{2}.$

Оказывается, ответ можно получить не всегда. Во-первых, тангенсы должны существовать. Это сразу дает ограничение

$\frac{a}{2}\not= \frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{b}{2}\not= \frac{\pi}{2}+\pi k\Rightarrow a\not=(2n+1)\pi;\ b\not=(2k+1)\pi;\ n,\ k\in Z.$

Во-вторых мы получим в результате работы с условием.

$\sin a+\sin b=2\sin(a+b)\Rightarrow 2\sin\frac{a+b}{2}\cdot \cos \frac{a-b}{2}=4\sin\frac{a+b}{2}\cdot \cos \frac{a+b}{2}.$

 1-й случай.   $\sin\frac{a+b}{2}=0;\ \frac{a+b}{2}=\pi m;\ a+b=2\pi m;\ b=2\pi m-a\Rightarrow$

${\rm tg} \ \frac{a}{2}\cdot{\rm tg}\ \frac{b}{2}={\rm tg}\ \frac{a}{2}\cdot{\rtm tg}\ (\pi m-\frac{a}{2})=-{\rm tg}^2\ \frac{a}{2}.$

Поэтому исследуемое выражение может принимать все неположительные значения.

2-й случай.   $\cos\frac{a-b}{2}=2\cos \frac{a+b}{2}\Rightarrow$

${\rm tg}\ \frac{a}{2}\cdot{\rm tg}\frac{b}{2}=\dfrac{\sin\frac{a}{2}\cdot \sin\frac{b}{2}}{\cos\frac{a}{2}\cdot \cos\frac{b}{2}}=\dfrac{\cos\frac{a-b}{2}-\cos\frac{a+b}{2}}{\cos\frac{a-b}{2}+\cos\frac{a+b}{2}}=\dfrac{\cos\frac{a+b}{2}}{3\cos\frac{a+b}{2}}}=\dfrac{1}{3}.$

Вывод: учитель скорее всего просто имел в виду ответ 1/3. Но первый случай забывать нельзя.