Question

Помогите пожалуйста!
Два различных натуральных числа N и M имеют по 14 делителей: 1 = d(1)< d(2) < . . . < d(14) = N, 1 = D(1) < D(2) < . . . < D(14)= M. Известно, что M^(3) делится на N. Найдите M, если M+N = 11968.

Answer 1

Рассмотрим произвольное число и его разложение на простые: $n = p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot\ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}$. Тогда число делителей числа $n$ равно $(\alpha_{1}+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_{k}+1)$.

Пусть $N = p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot\ldots\cdot p_{n}^{\alpha_{n}},\; M = q_{1}^{\beta_{1}}\cdot\ldots\cdot q_{m}^{\beta_{m}}$. Тогда $\displaystyle \prod\limits_{j=1}^{n}(\alpha_{j}+1) = \prod\limits_{j=1}^{m}(\beta_{j}+1) = 14 = 2\cdot 7$, поэтому без ограничения общности либо $\alpha_{1} = 1,\; \alpha_{2} = 6$, либо $\alpha_{1} = 13$. Аналогично для $M$.

Поскольку $M^3$ делится на $N$, то все простые, которые входят в состав $N$, входят и в $M$. Поэтому если $N$ состоит из двух простых, то и $M$ состоит из двух простых, причем они должны быть одинаковы. Если при этом $M=N$, то $M = 5984$, у которого $24$ делителя, что не подходит. Поэтому $M\neq N$ и в этом случае $M = p^{6}q,\; N = pq^{6}$, что не подходит, поскольку $N \nmid M^{3}$. Итак, значит, $N$ состоит из одного простого. Положим $N = p^{13}$, тогда $M = p^{6}q$. Их сумма тогда делится на шестую степень простого, однако $11968 = 2^6\cdot 11\cdot 17 \Rightarrow p =2$, Значит, $N = 2^{13} = 8192$, откуда $M = 11968-8192 = 3776$.