Question

найти все натуральные значения n удовлетворяющие уравнению 2022*[n*sqr(1011^2+1)]=n*[2022*sqr(1011^2+1)] , где [х] - наибольшее целое числоне превосходящее числа. ​

Answer 1

Пусть $\sqrt{1011^2+1} = 1011+r,\; 0<r<1$. Заметим, что $1011^2+1=1011^2+2022r+r^2 \Leftrightarrow r(2022+r)=1 \Rightarrow r = \dfrac{1}{2022+r} < \dfrac{1}{2022}$, поэтому $\left[2022\cdot \sqrt{1011^2+1}\right] = \left[2022\cdot 1011+2022r\right] = 2022\cdot 1011$. Тем самым уравнение перепишется в виде $2022\cdot \left[n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right] = 2022\cdot 1011\cdot n \Leftrightarrow  \left[n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right] = 1011\cdot n$.

Теперь подход примерно такой же: $\left[1011n+nr\right] = 1011 n$. Если $n\leq 2022$, то равенство выполняется. Пусть $n\geq 2023$. Тогда $2023r = \dfrac{2023}{2022+r}>1$, значит, равенство выполняться уже не будет. Получаем, что решениями будут натуральные числа $n\in\overline{1,2022}$.

Answer 2

Ответ:

$1;2;...;2022$

Пошаговое объяснение:

Заметим:

$1011=\sqrt{1011^2}<\sqrt{1011^2+1}<\sqrt{1011^2+2\cdot 1011\cdot \dfrac{1}{2022}+\dfrac{1}{2022^2}}=\\ =1011+\dfrac{1}{2022}$

Отсюда

$2022\cdot 1011<2022\cdot\sqrt{1011^2+1}<2022\cdot 1011+1$

Но это означает, что

$\left\lfloor2022\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=2022\cdot 1011$

Значит, уравнение равносильно

$2022\cdot\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 2022\cdot 1011$

$\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 1011$

Если решения данного уравнения существуют, то, по определению дробной части числа, верно неравенство

$n\cdot\sqrt{1011^2+1}-n\cdot 1011\leq 1\\ n\leq \dfrac{1}{\sqrt{1011^2+1}-1011}=\dfrac{\sqrt{1011^2+1}+1011}{1011^2+1-1011^2}=\sqrt{1011^2+1}+1011<2022\dfrac{1}{2022}$

$n\in N\Rightarrow n\leq 2022$

Но для таких значений переменной верны неравенства

$n\cdot 1011< n\cdot\sqrt{1011^2+1}То есть [tex]\forall n\in N, n\leq 2022$ по определению целой части числа равенство $\left\lfloor n\cdot\sqrt{1011^2+1}\right \rfloor=n\cdot 1011$ верно. Значит, все натуральные значения $n\leq 2022$ являются корнями данного уравнения.