Question

#13
Найдите сумму всех целых n, где каждое из которых представляет сумма 16n+9 и 9n+16 является полным квадратом
A 29  

B 53  

C 37  

D 42

​

Answer 1

Если $16n+9$ и $9n+16$ одновременно полные квадраты, то их произведение -- тоже, а потому $(16n+9)(9n+16) = 144n^2+337n+144 = z^2$. Однако $144n^2+337n+144 = (12n+12)^2+49n = z^2$, то есть $49n = 2(12n+12)t+t^2$. Легко видеть, что для $t\geq 3$ решений уже нет. Потому остается проверить два случая: $49n = 2(12n+12)+1 \Leftrightarrow n=1$ и $49n=2(12n+12)2+4 \Leftrightarrow n=52$. Они являются решениями. Их сумма -- $53$.