Question

#4
Число образованное при записи 3 цифр в конце числа А, равно сумме всех чисел от 1 до А . Найдите сумму всех значений А.
A 2022  

B 1999  

C 2000   

D 2021

​

Answer 1

Сразу получаем уравнение $1000A+x = \dfrac{A(A+1)}{2},\; 0\leq x < 1000$, после преобразований $A^2-1999A-2x=0$. Во-первых, требуется, чтобы $1999^2+8x$ было квадратом. Тогда $2\cdot 1999\cdot r+r^2 = 8x < 8000 \Rightarrow 0\leq r \leq 2$. При $r=0$ имеем $x=0$, при $r=1$ решений нет, а при $r=2$ получаем $x=1000$, что не подходит. Итак, $x=0$ дает $A=1999$ -- это и есть сумма всех таких значений.