Ответы
Ответ: x1=2, x2=-1, x3=2.
Пошаговое объяснение:
а) Составляем и вычисляем определитель системы:
Δ= 1 5 -6 =104≠0, поэтому система имеет единственное решение.
3 1 4
2 -3 1
Составляем и вычисляем определители при переменных x1, x2, x3:
Δ1= -15 5 -6 =208, Δ2= 1 -15 -6 =-104, Δ3= 1 5 -15 = 208
13 1 4 3 13 4 3 1 13
9 -3 1 2 9 1 2 -3 9
Находим значения переменных: x1=Δ1/Δ=2, x2=Δ2/Δ=-1, x3=Δ3/Δ=2
Подставляя найденные значения переменных в систему уравнений, получаем верные равенства:
2-5-12=-15
6-1+8=13
4+3+2=9
Значит, решение найдено верно.
б) Так как Δ≠0, то обратная матрица существует.
Находим алгебраические дополнения определителя системы Δ:
a11=13, a12=-5, a13=-11, a21=13, a22=13, a23=13, a31=26, a32=-22, a33=-14
Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
AΔ= 13 5 -11
13 13 13
26 -22 -14
Составляем транспонированную матрицу:
Aт= 13 13 26
5 13 -22
-11 13 -14
Составляем обратную матрицу:
A⁻¹=Aт/Δ= 13/104 13/104 26/104
5/104 13/104 -22/104
-11/104 13/104 -14/104
Находим значения переменных:
x1=13/104*(-15)+13/104*13+26/104*9=208/104=2;
x2=5/104*(-15)+13/104*13-22/104*9=-104/104=-1;
x3=-11/104*(-15)+13/104*13-14/104*9=208/104=2
Результаты совпадают с результатами, вычисленными по формулам Крамера - значит, решение найдено верно.
в) Умножим первое уравнение системы на 3, вычтем из него второе уравнение и заменим первое уравнение получившейся разностью. Получим эквивалентную систему уравнений:
14*x2 - 22*x3 = -58
3*x1 + x2 + 4*x3 = 13
2*x1 - 3*x2 + x3 = 9
Умножим второе уравнение системы на 2, третье - на 3, вычтем из второго уравнения третье и заменим второе уравнение получившейся разностью. Получим эквивалентную систему уравнений:
14*x2 - 22*x3 = -58
11*x2 + 5*x3 = -1
2*x1 -3*x2 + x3 = 9
Умножим первое уравнение на 11, второе - на 14, вычтем из первого уравнения второе и заменим первое уравнение получившейся разностью. Получим эквивалентную систему уравнений:
- 312*x3 = -624
11*x2 + 5*x3 = -1
2*x1` - 3*x2 + x3 = 9
На этом прямой ход метода Гаусса закончен и начинается обратный ход.
Из первого уравнения находим x3=2. Подставляя это значение во второе уравнение, находим x2=-1. Подставляя эти значения в третье уравнение, находим x1=2. Результаты совпадают с результатами, полученными по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы - значит, решение найдено верно.