Question

Сколько решений имеет система​

Answer 1

Ответ:

Одно решение (0; 0,5)

Пошаговое объяснение:

$\begin{cases}{{2}^{x+1} = 4y ^{2} + 1} \\ {2 {}^{x} \leqslant 2y} \end{cases} < = >\begin{cases}{2 \cdot {2}^{x} = 4y ^{2} + 1} \\ {2 {}^{x} \leqslant 2y} \end{cases}$

Замена переменной:

пусть

${2}^{x} = a > 0 = > {2}^{x + 1} = 2 \cdot{2}^{x} = 2a\\ 2y = b \: = > \: 4 {y}^{2} = {b}^{2}$

Тогда:

$\\ \begin{cases}{2 \cdot a = b ^{2} + 1} \\ {a \leqslant b} \\ a > 0 \end{cases} = >\begin{cases} 2a = {b}^{2} + 1 \\0 < 2a\leqslant 2b\end{cases} \\ {b}^{2} + 1 \leqslant 2b \: < = > {b}^{2} - 2b + 1 \leqslant 0 \\ (b - 1)^{2} \leqslant 0 \: \: \:$

А так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, следовательно имеем единственное решение для а,b:

$(b - 1)^{2} = 0 \: \: = > \: b - 1 = 0 < = > b = 1$

Найдем а:

$2a = {b}^{2} + 1 \: \: = > 2a = 2 \: \: = > a = 1$

Сделаем обратную замену:

$a = {2}^{x} = 1 \: \: = > \: x = 0\\ 2y = b = 1\: = > \: {y}= \frac {b}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

То есть данная система имеет одно единственное решение (х; у), и это (0; 0,5)